Тип задания: 13
Условие
а) Решите уравнение 2(\sin x-\cos x)=tgx-1.
б) \left[ \frac{3\pi }2;\,3\pi \right].
Показать решениеРешение
а) Раскрыв скобки и перенеся все слагаемые в левую часть, получим уравнение 1+2 \sin x-2 \cos x-tg x=0. Учитывая, что \cos x \neq 0, слагаемое 2 \sin x можно заменить на 2 tg x \cos x, получим уравнение 1+2 tg x \cos x-2 \cos x-tg x=0, которое способом группировки можно привести к виду (1-tg x)(1-2 \cos x)=0.
1) 1-tg x=0, tg x=1, x=\frac\pi 4+\pi n, n \in \mathbb Z;
2) 1-2 \cos x=0, \cos x=\frac12, x=\pm \frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z.
б) С помощью числовой окружности отберём корни, принадлежащие промежутку \left[ \frac{3\pi }2;\, 3\pi \right].
x_1=\frac\pi 4+2\pi =\frac{9\pi }4,
x_2=\frac\pi 3+2\pi =\frac{7\pi }3,
x_3=-\frac\pi 3+2\pi =\frac{5\pi }3.
Ответ
а) \frac\pi 4+\pi n, \pm\frac\pi 3+2\pi n, n \in \mathbb Z;
б) \frac{5\pi }3, \frac{7\pi }3, \frac{9\pi }4.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение (2\sin ^24x-3\cos 4x)\cdot \sqrt {tgx}=0.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right] ;
Показать решениеРешение
а) ОДЗ: \begin{cases} tgx\geqslant 0\\x\neq \frac\pi 2+\pi k,k \in \mathbb Z. \end{cases}
Исходное уравнение на ОДЗ равносильно совокупности уравнений
\left[\!\!\begin{array}{l} 2 \sin ^2 4x-3 \cos 4x=0,\\tg x=0. \end{array}\right.
Решим первое уравнение. Для этого сделаем замену \cos 4x=t, t \in [-1; 1]. Тогда \sin^24x=1-t^2. Получим:
2(1-t^2)-3t=0,
2t^2+3t-2=0,
t_1=\frac12, t_2=-2, t_2\notin [-1; 1].
\cos 4x=\frac12,
4x=\pm \frac\pi 3+2\pi n,
x=\pm \frac\pi {12}+\frac{\pi n}2, n \in \mathbb Z.
Решим второе уравнение.
tg x=0,\, x=\pi k, k \in \mathbb Z.
При помощи единичной окружности найдём решения, которые удовлетворяют ОДЗ.
Знаком «+» отмечены 1 -я и 3 -я четверти, в которых tg x>0.
Получим: x=\pi k, k \in \mathbb Z; x=\frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; x=\frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) Найдём корни, принадлежащие промежутку \left(0;\,\frac{3\pi }2\right].
.png)
x=\frac\pi {12}, x=\frac{5\pi }{12}; x=\pi ; x=\frac{13\pi }{12}; x=\frac{17\pi }{12}.
Ответ
а) \pi k, k \in \mathbb Z; \frac\pi {12}+\pi n, n \in \mathbb Z; \frac{5\pi }{12}+\pi m, m \in \mathbb Z.
б) \pi; \frac\pi {12}; \frac{5\pi }{12}; \frac{13\pi }{12}; \frac{17\pi }{12}.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение: \cos ^2x+\cos ^2\frac\pi 6=\cos ^22x+\sin ^2\frac\pi 3;
б) Укажите все корни, принадлежащие промежутку \left(\frac{7\pi }2;\,\frac{9\pi }2\right].
Показать решениеРешение
а) Так как \sin \frac\pi 3=\cos \frac\pi 6, то \sin ^2\frac\pi 3=\cos ^2\frac\pi 6, значит, заданное уравнение равносильно уравнению \cos^2x=\cos ^22x, которое, в свою очередь, равносильно уравнению \cos^2x-\cos ^2 2x=0.
Но \cos ^2x-\cos ^22x= (\cos x-\cos 2x)\cdot (\cos x+\cos 2x) и
\cos 2x=2 \cos ^2 x-1, поэтому уравнение примет вид
(\cos x-(2 \cos ^2 x-1))\,\cdot (\cos x+(2 \cos ^2 x-1))=0,
(2 \cos ^2 x-\cos x-1)\,\cdot (2 \cos ^2 x+\cos x-1)=0.
Тогда либо 2 \cos ^2 x-\cos x-1=0, либо 2 \cos ^2 x+\cos x-1=0.
Решая первое уравнение как квадратное уравнение относительно \cos x, получаем:
(\cos x)_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt 9}4=\frac{1\pm3}4. Поэтому либо \cos x=1, либо \cos x=-\frac12. Если \cos x=1, то x=2k\pi , k \in \mathbb Z. Если \cos x=-\frac12, то x=\pm \frac{2\pi }3+2s\pi , s \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \cos x=-1, либо \cos x=\frac12. Если \cos x=-1, то корни x=\pi +2m\pi , m \in \mathbb Z. Если \cos x=\frac12, то x=\pm \frac\pi 3+2n\pi , n \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения:
x=m\pi , m \in \mathbb Z; x=\pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z.
б) Выберем корни, которые попали в заданный промежуток, с помощью числовой окружности.
Получим: x_1 =\frac{11\pi }3, x_2=4\pi , x_3 =\frac{13\pi }3.
Ответ
а) m\pi, m \in \mathbb Z; \pm \frac\pi 3 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б) \frac{11\pi }3, 4\pi , \frac{13\pi }3.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
Тип задания: 13
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)
Условие
а) Решите уравнение 10\cos ^2\frac x2=\frac{11+5ctg\left(\dfrac{3\pi }2-x\right) }{1+tgx}.
б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие интервалу \left(-2\pi ; -\frac{3\pi }2\right).
Показать решениеРешение
а) 1. Согласно формуле приведения, ctg\left(\frac{3\pi }2-x\right) =tgx. Областью определения уравнения будут такие значения x , что \cos x \neq 0 и tg x \neq -1. Преобразуем уравнение, пользуясь формулой косинуса двойного угла 2 \cos ^2 \frac x2=1+\cos x. Получим уравнение: 5(1+\cos x) =\frac{11+5tgx}{1+tgx}.
Заметим, что \frac{11+5tgx}{1+tgx}= \frac{5(1+tgx)+6}{1+tgx}= 5+\frac{6}{1+tgx}, поэтому уравнение принимает вид: 5+5 \cos x=5 +\frac{6}{1+tgx}. Отсюда \cos x =\frac{\dfrac65}{1+tgx}, \cos x+\sin x =\frac65.
2. Преобразуем \sin x+\cos x по формуле приведения и формуле суммы косинусов: \sin x=\cos \left(\frac\pi 2-x\right), \cos x+\sin x= \cos x+\cos \left(\frac\pi 2-x\right)= 2\cos \frac\pi 4\cos \left(x-\frac\pi 4\right)= \sqrt 2\cos \left(x-\frac\pi 4\right) = \frac65.
Отсюда \cos \left(x-\frac\pi 4\right) =\frac{3\sqrt 2}5. Значит, x-\frac\pi 4= arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k, k \in \mathbb Z,
или x-\frac\pi 4= -arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t, t \in \mathbb Z.
Поэтому x=\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi k,k \in \mathbb Z,
или x =\frac\pi 4-arc\cos \frac{3\sqrt 2}5+2\pi t,t \in \mathbb Z.
Найденные значения x принадлежат области определения.
б) Выясним сначала куда попадают корни уравнения при k=0 и t=0. Это будут соответственно числа a=\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5 и b=\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5.
1. Докажем вспомогательное неравенство:
\frac{\sqrt 2}{2}<\frac{3\sqrt 2}2<1.
Действительно, \frac{\sqrt 2}{2}=\frac{5\sqrt 2}{10}<\frac{6\sqrt2}{10}=\frac{3\sqrt2}{5}.
Заметим также, что \left(\frac{3\sqrt 2}5\right) ^2=\frac{18}{25}<1^2=1, значит \frac{3\sqrt 2}5<1.
2. Из неравенств (1) по свойству арккосинуса получаем:
arccos 1 0 Отсюда \frac\pi 4+0<\frac\pi 4+arc\cos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 4+\frac\pi 4,
0<\frac\pi 4+arccos \frac{3\sqrt 2}5<\frac\pi 2,
0 Аналогично, -\frac\pi 4 0=\frac\pi 4-\frac\pi 4<\frac\pi 4-arccos \frac{3\sqrt 2}5<
0 При k=-1
и t=-1
получаем корни уравнения a-2\pi
и b-2\pi.
\Bigg(a-2\pi =-\frac74\pi +arccos \frac{3\sqrt 2}5,\,
b-2\pi =-\frac74\pi -arccos \frac{3\sqrt 2}5\Bigg).
При этом -2\pi 2\pi При остальных значениях k
и t
корни уравнения не принадлежат заданному промежутку. Действительно, если k\geqslant 1
и t\geqslant 1,
то корни больше 2\pi.
Если k\leqslant -2
и t\leqslant -2,
то корни меньше -\frac{7\pi }2.
а)
\frac\pi4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5+2\pi k, k\in\mathbb Z;
б)
-\frac{7\pi}4\pm arccos\frac{3\sqrt2}5.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 13 а)
Решите уравнение \sin \left(\frac\pi 2+x\right) =\sin (-2x).
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие промежутку ;
а)
Преобразуем уравнение: \cos x =-\sin 2x,
\cos x+2 \sin x \cos x=0,
\cos x(1+2 \sin x)=0,
\cos x=0,
x =\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
1+2 \sin x=0,
\sin x=-\frac12,
x=(-1)^{k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z.
б)
Корни, принадлежащие отрезку ,
найдём с помощью единичной окружности. Указанному промежутку принадлежит единственное число \frac\pi 2.
а)
\frac\pi 2+\pi n, n \in \mathbb Z;
(-1)^{k+1}\cdot \frac\pi 6+\pi k, k \in \mathbb Z;
б)
\frac\pi 2.
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова. Тип задания: 13 а)
Решите уравнение \frac{\sin x-1}{1+\cos 2x}=\frac{\sin x-1}{1+\cos (\pi +x)}.
б)
Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \left[ -\frac{3\pi }{2}; -\frac{\pi }2 \right].
а)
Найдём ОДЗ уравнения: \cos 2x \neq -1,
\cos (\pi +x) \neq -1;
Отсюда ОДЗ: x \neq \frac \pi 2+\pi k,
k \in \mathbb Z,
Полученное множество значений x
не входит в ОДЗ. Значит, \sin x \neq 1.
Разделим обе части уравнения на множитель (\sin x-1),
отличный от нуля. Получим уравнение \frac 1{1+\cos 2x}=\frac 1{1+\cos (\pi +x)},
или уравнение 1+\cos 2x=1+\cos (\pi +x).
Применяя в левой части формулу понижения степени, а в правой — формулу приведения, получим уравнение 2 \cos ^2 x=1-\cos x.
Это уравнение с помощью замены \cos x=t,
где -1 \leqslant t \leqslant 1
сводим к квадратному: 2t^2+t-1=0,
корни которого t_1=-1
и t_2=\frac12.
Возвращаясь к переменной x
, получим \cos x = \frac12
или \cos x=-1,
откуда x=\frac \pi 3+2\pi m,
m \in \mathbb Z,
x=-\frac \pi 3+2\pi n,
n \in \mathbb Z,
x=\pi +2\pi k,
k \in \mathbb Z.
б)
Решим неравенства 1) -\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
2) -\frac{3\pi }2 \leqslant -\frac \pi 3+2\pi n \leqslant -\frac \pi {2,}
3) -\frac{3\pi }2 \leqslant \pi+2\pi k \leqslant -\frac \pi 2 ,
m,
n,
k \in \mathbb Z.
1)
-\frac{3\pi }2 \leqslant \frac{\pi }3+2\pi m \leqslant -\frac \pi 2 ,
-\frac32 \leqslant
\frac13+2m \leqslant
-\frac12 -\frac{11}6 \leqslant
2m \leqslant
-\frac56 ,
-\frac{11}{12} \leqslant m \leqslant -\frac5{12}.
\left [-\frac{11}{12};-\frac5{12}\right]
. 2)
-\frac {3\pi} 2 \leqslant -\frac{\pi }3+2\pi n \leqslant -\frac{\pi }{2},
-\frac32 \leqslant -\frac13 +2n \leqslant -\frac12 ,
-\frac76 \leqslant 2n \leqslant -\frac1{6},
-\frac7{12} \leqslant n \leqslant -\frac1{12}.
Нет целых чисел, принадлежащих промежутку \left[ -\frac7{12} ; -\frac1{12} \right].
3)
-\frac{3\pi }2 \leqslant \pi +2\pi k\leqslant -\frac{\pi }2,
-\frac32 \leqslant 1+2k\leqslant -\frac12,
-\frac52 \leqslant 2k \leqslant -\frac32,
-\frac54 \leqslant k \leqslant -\frac34.
Этому неравенству удовлетворяет k=-1,
тогда x=-\pi.
а)
\frac \pi 3+2\pi m;
-\frac \pi 3+2\pi n;
\pi +2\pi k,
m,
n,
k \in \mathbb Z;
б)
-\pi .
Источник: «Математика. Подготовка к ЕГЭ-2017. Профильный уровень». Под ред. Ф. Ф. Лысенко, С. Ю. Кулабухова.
(\sin x-\cos 2x)\cdot (\sin x+\cos 2x)
и \cos 2x=1-2 \sin ^2 x,
поэтому уравнение примет вид (\sin x-(1-2 \sin ^2 x))\,\cdot
(\sin x+(1-2 \sin ^2 x))=0,
(2 \sin ^2 x+\sin x-1)\,\cdot
(2 \sin ^2 x-\sin x-1)=0.
Тогда либо 2 \sin ^2 x+\sin x-1=0,
либо 2 \sin ^2 x-\sin x-1=0.
Решим первое уравнение как квадратное относительно \sin x,
(\sin x)_{1,2}=\frac{-1 \pm \sqrt 9}4=\frac{-1 \pm 3}4.
Поэтому либо \sin x=-1,
либо \sin x=\frac12.
Если \sin x=-1,
то x=\frac{3\pi }2+ 2k\pi , k \in \mathbb Z.
Если \sin x=\frac12,
то либо x=\frac\pi 6 +2s\pi , s \in \mathbb Z,
либо x=\frac{5\pi }6+2t\pi , t \in \mathbb Z.
Аналогично, решая второе уравнение, получаем либо \sin x=1,
либо \sin x=-\frac12.
Тогда x =\frac\pi 2+2m\pi , m \in \mathbb Z,
либо x=\frac{-\pi }6 +2n\pi , n \in \mathbb Z,
либо x=\frac{-5\pi }6+2p\pi , p \in \mathbb Z.
Объединим полученные решения: x=\frac\pi 2+m\pi,m\in\mathbb Z;
x=\pm\frac\pi 6+s\pi,s \in \mathbb Z.
б)
Выберем корни, которые попали в заданный промежуток с помощью числовой окружности. Получим: x_1 =\frac{7\pi }2, x_2 =\frac{23\pi }6, x_3 =\frac{25\pi }6.
а)
\frac\pi 2+ m\pi , m \in \mathbb Z;
\pm \frac\pi 6 +s\pi , s \in \mathbb Z;
б)
\frac{7\pi }2;\,\,\frac{23\pi }6;\,\,\frac{25\pi }6.
Шамшурин А.В. 1
Гагарина Н.А. 1
1
Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение «Средняя общеобразовательная школа №31» Текст работы размещён без изображений и формул. Введение
Я начал работу с того, что в Интернете пересмотрел множество тем по математике и выбрал эту тему, потому что уверен, что важность нахождения ОДЗ играет огромную роль в решении уравнений и задач. В своей исследовательской работе я рассмотрел уравнения, в которых достаточно только нахождения ОДЗ, опасность, необязательность, ограниченность ОДЗ, некоторые запреты в математике. Самое главное для меня хорошо сдать ЕГЭ по математике, а для этого надо знать: когда, зачем и как находить ОДЗ. Это и подтолкнуло меня к исследованию темы, целью которой, стало показать, что овладение данной темой поможет учащимся правильно выполнить задания на ЕГЭ. Чтобы достичь этой цели, я исследовал дополнительную литературу и другие источники. Мне стало интересно, а знают учащиеся нашей школы: когда, зачем и как находить ОДЗ. Поэтому я провёл тест по теме «Когда, зачем и как находить ОДЗ?» (было дано 10 уравнений). Количество учащихся - 28. Справились - 14 %, опасность ОДЗ (учли) - 68 %, необязательность (учли) - 36 %. Цель
: выявление: когда, зачем и как находить ОДЗ. Проблема:
уравнения и неравенства, в которых нужно находить ОДЗ, не нашли места в курсе алгебры систематического изложения, возможно поэтому я и мои сверстники часто делаем ошибки при решении таких примеров, уделив много времени их решению, забыв при этом об ОДЗ. Задачи:
Я думаю полученные мною, знания и навыки помогут мне решить вопрос: искать ОДЗ или не надо? Я перестану делать ошибки, научившись правильно делать ОДЗ. Получится ли у меня это, покажет время, точнее ЕГЭ. Глава 1
Что такое ОДЗ?
ОДЗ - это область допустимых значений
, то есть это все значения переменной, при которых выражение имеет смысл. Важно.
Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных мест. Некоторые запреты в математике.
Таких запретных действий в математике очень мало. Но их не все помнят… Как записать ОДЗ?
Очень просто. Всегда рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера. Преобразование примера может изменить ОДЗ и, соответственно ответ. Алгоритм нахождения ОДЗ:
Решить уравнение: = Без ОДЗ
С ОДЗ
Ответ: х=5 ОДЗ: => => Ответ: корней нет Область допустимых значений оберегает нас от таких серьёзных ошибок. Честно говоря, именно из-за ОДЗ многие «ударники» превращаются в «троечников». Считая, что поиск и учёт ОДЗ малозначимым шагом в решении, они пропускают его, а потом удивляются: «почему учитель поставил 2?». Да потому и поставил, что ответ неверен! Это не «придирки» учителя, а вполне конкретная ошибка, такая же как неверное вычисление или потерянный знак. Дополнительные уравнения: а) = ; б) -42=14х+ ; в) =0; г) |x-5|=2x-2 Глава 2
ОДЗ. Зачем? Когда? Как?
Область допустимых значений - есть решение
Ответ: корней нет. Ответ: корней нет. 0, уравнение не имеет корней Ответ: корней нет. Дополнительные примеры: а) + =5; б) + =23х-18; в) =0. ОДЗ: х=2, х=3 Проверка: х=2, + , 0<1, верно Проверка: х=3, + , 0<1, верно. Ответ: х=2, х=3. Проверка: х=0, > , 0>0, неверно Проверка: х=1, > , 1>0, верно Ответ: х=1. Проверка: + =3, 0=3, неверно. Ответ: корней нет. Дополнительные примеры: а) = ; б) + =0; в) + =х -1 Опасность ОДЗ
Заметим, тождественные преобразования могут: Известно также, что в результате некоторых преобразований, изменяющих исходное ОДЗ, может привести к неверным решениям. Давайте поясним каждый случай примером. 1) Рассмотрим выражение х +4х+7х, ОДЗ переменной х для этого есть множество R. Приведём подобные слагаемые. В результате оно примет вид x 2 +11x. Очевидно, ОДЗ переменной x этого выражения тоже является множество R. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ. 2) Возьмем уравнение x+ - =0. В этом случае ОДЗ: x≠0. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых, приходим к выражению x, для которого ОДЗ есть R. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x для исходного выражения добавилось число нуль). 3) Возьмем выражение. ОДЗ переменной x определяется неравенством (x−5)·(x−2)≥0, ОДЗ: (−∞, 2]∪∪/Режим доступа: Материалы сайтов www.fipi.ru, www.eg
Приложение 1
Практическая работа «ОДЗ: когда, зачем и как?»
Вариант 1 Вариант 2 │х+14│= 2 - 2х │3-х│=1 - 3х Приложение 2
Ответы к заданиям практической работы «ОДЗ: когда, зачем и как?»
Вариант 1 Вариант 2 Ответ: корней нет Ответ: х-любое число, кроме х=5 9х+ = +27 ОДЗ: х≠3 Ответ: корней нет ОДЗ: х=-3, х=5. Ответ:-3;5. у= -убывает, у= -возрастает Значит, уравнение имеет не более одного корня. Ответ: х=6. ОДЗ: → →х≥5 Ответ:х≥5, х≤-6. │х+14│=2-2х ОДЗ:2-2х≥0, х≤1 х=-4, х=16, 16 не принадлежит ОДЗ Убывает, -возрастает Уравнение имеет не более одного корня. Ответ: корней нет. 0, ОДЗ: х≥3,х≤2 Ответ: х≥3,х≤2 8х+ = -32, ОДЗ: х≠-4. Ответ: корней нет. х=7, х=1. Ответ: решений нет Возрастает, - убывает Ответ: х=2. 0 ОДЗ: х≠15 Ответ: х- любое число, кроме х=15. │3-х│=1-3х, ОДЗ: 1-3х≥0, х≤ х=-1, х=1 не принадлежит ОДЗ. Ответ: х=-1. А как искать это самое ОДЗ? Внимательно осматриваем пример и ищем опасные места. Места, в которых возможны запретные действия. Таких запретных действий в математике очень мало.
Больше уроков на сайте
ОДЗ (Область Допустимых Значений)
Областью допустимых значений уравнения называется множество значений х, при котором правая и левая части уравнения имеют смысл
. Это те значения х, которые могут быть в принципе. Скажем, в уравнении = 1 мы не знаем пока, чему равен х. Мы пока уравнение не решили. Но уже твёрдо знаем, что х не может равняться нулю ни при каких обстоятельствах! На ноль делить нельзя!
На любое другое число – целое, дробное, отрицательное – пожалуйста, а на ноль – ни в коем разе! Иначе исходное выражение становится бессмыслицей. Это означает, что ОДЗ в этом примере: х – любое, кроме нуля. Уловили? Как находить, как записывать, как с этим работать?
Очень просто. Рядом с примером пишите ОДЗ. Под этими известными буквами, глядя на исходное уравнение, записываем значения х, которые разрешены для исходного примера
. Или можно наоборот: найти запретные значения х,
при которых исходный пример теряет всякий смысл, и исключить их. Но и их не все помнят. Я сейчас их напомню, и советую их запомнить. Выражение, стоящее под знаком корня четной кратности, должно быть больше или равно нуля.
Выражение, стоящее в знаменателе дроби, не может быть равно нулю.
Есть ещё запреты в логарифмических уравнениях – это мы рассмотрим в соответствующих темах. Всё. Когда мы нашли опасные места, вычисляем х, которые приведут к бессмыслице. Чтобы найти область допустимых значений выражения, нужно исследовать, присутствуют ли в
уравнении выражения
, которые я перечислила выше. И по мере обнаружения выражений, записывать задаваемые ими ограничения, двигаясь «снаружи» «внутрь».
И исключаем их.
Важно! Для нахождения ОДЗ мы не решаем пример! Мы решаем кусочки примера для нахождения запретных иксов. Это сложно выглядит в разъяснениях, но практически – очень легко. Я специально на предыдущих уроках ничего не говорила про ОДЗ. Чтобы вас не спугнуть… В рассмотренных примерах ОДЗ никак не сказалось на ответах. Ведь в наших перечисленных запретах показательной функции нет. Такое бывает. Но в заданиях по ВНЕШНЕМУ НЕЗАВИСИМОМУ ТЕСТИРОВАНИЮ ОДЗ, как правило, влияет на ответ! Ее писать надо не для проверяющих, для себя. не пишут, если очевидно, что х – любое число. Как, например, в линейных уравнениях. В массе примеров нахождение ОДЗ позволяет получить ответ без громоздких выкладок. А то и вовсе устно. В некоторых уравнениях — представляет собой пустое множество. А значит, исходное уравнение не имеет решений. Или в там находится одно или несколько чисел, и несложная подстановка быстро определяет корни. Что не нравится? Правильно – дробь. Мне она тоже не нравится, поэтому предлагаю от неё избавиться. Это можно сделать по разному. Я для того, чтобы избавиться от знаменателя, умножу обе части уравнения на общий знаменатель х-4. Внимание! В какой момент мы попали в засаду элементарного примера? Как раз в момент ликвидации логарифмов. Логарифмы исчезли напрочь, и вместе с ними исчезли соответствующие ограничения на ответ. Бесследно. В математике это называется расширение ОДЗ.
И что теперь, отказаться от ликвидации логарифмов!? Тогда мы вообще ничего решить не сможем... Нет, отказываться мы не будем. Мы пойдём другим путём! В математике эта проблема решается так. Перед решением любого логарифмического уравнения записываем ОДЗ. После этого с уравнением можно делать всё, что угодно. В смысле - решать...) Получив ответ, надо просто выяснить, входят ли корни в ОДЗ. Те что входят - это полноценные, правильные решения. Те что не входят - безжалостно выкидываем. Эти корни образовались в процессе решения самостоятельно, они лишние. Их так иногда и называют: посторонние корни.
Как записывать ОДЗ?
Очень просто. Внимательно осматриваем исходный пример. Не решаем, не преобразовываем, именно осматриваем
, и именно исходный!
Это важно! Да и несложно, к тому же. Ищем в примере опасные места. Это деление
на выражение с иксом, извлечение корня чётной степени
из выражения с иксом и логарифмы
с иксами. Мы не знаем, чему равен х, верно? Мы ещё пример не решали. Но твёрдо уверены, что те иксы, которые дадут деление на ноль, извлечение квадратного корня из отрицательного числа и нарушение ограничений на логарифмы заведомо в ответ не годятся.
Эти иксы превращают исходный пример в бессмыслицу. Посему такие значения х недопустимы. Все остальные значения х и будут составлять ОДЗ. Область допустимых значений. Вот и всё. На практике это всё куда проще делается. Читаем и вникаем. Берём тот же пример: log 3 (х 2 -3) = log 3 (2х) Осматриваем пример, выясняем что деления - нет, корней - нет, но в уравнении имеются выражения с иксом внутри логарифма. Вспоминаем, что подлогарифменное выражение должно быть всегда больше нуля.
Вот так прямо и пишем: Обратите внимание! Мы ничего
не решали! Мы просто записали обязательное условие на всё
подлогарифменное выражение. Для каждого
логарифма в примере. Знак системы (фигурная скобка) показывает, что эти условия должны выполняться одновременно.
Вот и всё. ОДЗ записано. Не так уж и сложно, правда? Что делать с ОДЗ?
Итак, ОДЗ записали. Половина дела - сделана). Что дальше с этой записью делать? Вот тут у нас возникают варианты. Вариант первый, универсальный:
Решаем систему неравенств, которую мы записали для ОДЗ. Мы решаем только ОДЗ! Сам пример пока не трогаем!
Получаем значения х, которые допустимы для данного уравнения. Тот, кто умеет решать системы неравенств получит для нашего ОДЗ такой ответ: Т.е. в качестве ответа нам подойдут только такие иксы, которые больше корня из трёх! Всё, соломки подстелили. Теперь можно браться и за сам пример. Смело убирать логарифмы и всякие другие преобразования делать - исходные ограничения мы записали и сохранили. Решив само уравнение и получив ответы х 1 = 3; х 2 = -1, легко увидеть, что в качестве ответа годится только х 1 = 3. Корень х 2 = -1 меньше, чем корень из трёх, он - посторонний. Его мы просто отбрасываем. Вот и всё. Хорошо тем, кто умеет решать системки неравенств, правда?) А если с решением систем неравенств, того... не очень? Как быть?! Как быть, как быть... Научиться! Но если уж совсем прижало... Ладно, только для вас! Способ-лайт.) Вариант второй, только для нехитрых уравнений.
Итак, мы записали ОДЗ в виде системы неравенств. Эту систему можно и не решать. Оставить как есть, вот так: А вот теперь, поочерёдно подставляем эти значения в систему неравенств ОДЗ.
Для х 1 = 3: Просто считаем, получаем: Всё отлично. Оба неравенства - верные. Значит, тройка проходит по ОДЗ и идёт прямиком в ответ. Подставляем второй корень х 2 = -1: Считаем и получаем: Это категорически неверно! Минус два никак не больше нуля! Значит, этот корень не входит в ОДЗ. Он просто выбрасывается и ни в какой ответ не идёт. Всё. Замечу, что корень выбрасывается, если он не подходит хотя бы в одно
неравенство системы. Вот такой способ-лайт. Подчеркну, этот способ прост и нагляден. Решение неравенств заменяется простым счётом. Очень хорош в простых уравнениях. И не годится в логарифмических неравенствах. Догадались, почему? Да потому, что в ответе у неравенства, обычно, не один-два корня, а интервал.
Т.е. бесконечный
набор чисел. А в способе-лайт в ОДЗ надо подставлять все
значения... Бесконечность. Что представляется несколько затруднительным, да... Здесь мы разобрали всего один простой пример. Но суть такой работы с ОДЗ неизменна для любых
логарифмических уравнений. Ну вот, с ОДЗ - главной ловушкой в логарифмических уравнениях - мы разобрались. Самые внимательные могут спросить, почему в предыдущем уроке мы прекрасно обошлись без ОДЗ? Да просто там ОДЗ никак не сказалось на ответе! Можете проверить самостоятельно. Такое бывает. Решали, про ОДЗ - не вспомнили (или вообще не знали...), а получили-таки правильный ответ. Значит - повезло. Я же говорю - лотерея, если без ОДЗ решать...) А теперь - внимание!
Вникайте. И запоминайте одну простую мысль. Эта мысль спасёт вас от путаницы в решении и каши в голове: Решение любого логарифмического уравнения состоит из двух равноценных частей. Одна часть - это решение самого уравнения. Вторая - решение условий ОДЗ. Эти части решаются независимо
друг от друга. Стыковка результатов происходит на финишном этапе решения.
Ключевое слово здесь - "независимо"
. Решая ОДЗ, можно не вспоминать про уравнение. И наоборот. Главное - в самом конце не забыть результаты сопоставить, лишнее выбросить, да верный ответ записать.) Подведём итоги в практических советах. Практические советы:
1. Прежде всего - записываем условия ОДЗ по исходному
примеру. 2. Выбираем, с чего начинать решение. Можно начинать с уравнения, можно - с условий ОДЗ. Выбираем то, что решается полегче. 3. Решив уравнение и ОДЗ, сводим результаты в общий ответ. 4. Если пример позволяет, ОДЗ можно не решать. Достаточно подставить результаты уравнения в записанные условия ОДЗ и проверить, какие решения проходят. Их и взять за ответы. Ну и, как водится, порешаем. Примеров здесь всего чуть-чуть, но они охватывают самые популярные фишки с ОДЗ. Некоторые фишки (если их увидеть) позволяют сократить решение в десятки раз!
Я не шучу. Найти корень или сумму корней (если их несколько) уравнений:
log 2 (х 2 +5х-6) = log 2 (4х) ln(х 3 -7х+2sinx+3) = ln(х 3 -7х+2sinx-4) Ответы (в беспорядке): 2; решений нет; 1; -5. Ну, как оно? Замечу, что страшный внешний вид некоторых примеров - обманчив. Решаются они легко.) Если у вас всё получилось быстро и правильно - можно заняться заданиями посложнее. Если не получилось, или решалось долго - посетите раздел 555. Там эти примеры разобраны детально. Даны приёмы правильного и быстрого
решения. Иногда в логарифмических уравнениях половину, а то и больше, вообще решать не надо. Ответ всё равно правильный будет. Да-да! В разделе 555 на этом особый акцент сделан. Теперь можно решать несложные логарифмические уравнения вполне надёжно. Не лотерея, да...) А уж как сводить сложные уравнения к простейшим, как использовать на всю катушку свойства логарифмов и замену переменной, как не попасть в засаду под названием "Сужение ОДЗ" - всё это будет в следующих уроках. Кстати, у меня есть ещё парочка интересных сайтов для Вас.)
Можно потренироваться в решении примеров и узнать свой уровень. Тестирование с мгновенной проверкой. Учимся - с интересом!)
можно познакомиться с функциями и производными.
Решая различные задачи, нам очень часто приходится проводить тождественные преобразования выражений . Но бывает, что какое-то преобразование в одних случаях допустимо, а в других – нет. Существенную помощь в плане контроля допустимости проводимых преобразований оказывает ОДЗ. Остановимся на этом подробнее. Суть подхода состоит в следующем: сравниваются ОДЗ переменных для исходного выражения с ОДЗ переменных для выражения, полученного в результате выполнения тождественных преобразований, и на основании результатов сравнения делаются соответствующие выводы. Вообще, тождественные преобразования могут Давайте поясним каждый случай примером. Рассмотрим выражение x 2 +x+3·x
, ОДЗ переменной x
для этого выражения есть множество R
. Теперь проделаем с этим выражением следующее тождественное преобразование – приведем подобные слагаемые , в результате оно примет вид x 2 +4·x
. Очевидно, ОДЗ переменной x
этого выражения тоже является множество R
. Таким образом, проведенное преобразование не изменило ОДЗ. Переходим дальше. Возьмем выражение x+3/x−3/x
. В этом случае ОДЗ определяется условием x≠0
, которое отвечает множеству (−∞, 0)∪(0, +∞)
. Это выражение тоже содержит подобные слагаемые, после приведения которых приходим к выражению x
, для которого ОДЗ есть R
. Что мы видим: в результате проведенного преобразования произошло расширение ОДЗ (к ОДЗ переменной x
для исходного выражения добавилось число нуль). Осталось рассмотреть пример сужения области допустимых значений после проведения преобразований. Возьмем выражение Ответ
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)Условие
Решение
Ответ
Тема:
Область допустимых значений (ОДЗ)Условие
Решение
Ответ
Ответ
Полная версия работы доступна во вкладке "Файлы работы" в формате PDF
ОДЗ в логарифмических уравнениях.
К этой теме имеются дополнительные
материалы в Особом разделе 555.
Для тех, кто сильно "не очень..."
И для тех, кто "очень даже...")
Если Вам нравится этот сайт...
. ОДЗ переменной x
определяется неравенством (x−1)·(x−3)≥0
, для его решения подходит, например, в результате имеем (−∞, 1]∪∪; под ред. С. А. Теляковского. - 17-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 240 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019315-3.
